SIGMA CAS PRO

Transformer les expressions.

Simplifier, développer, factoriser sur ℚ, décomposer en éléments simples, dériver (y compris à l’ordre n symbolique), intégrer (primitives vérifiées par dérivation) et développer en série.

Exact lorsque possible.

Factorisation avant formules, radicaux, exponentielles, logarithmes, trigonométrie (familles k ∈ ℤ), Lambert W ; systèmes linéaires paramétrés et polynomiaux (bases de Gröbner). Inéquations avec tableau de signes (x^2 < 4, −1 < 2x+1 ≤ 5). Chaque solution est vérifiée et les solutions parasites éliminées. Laisser « Inconnue(s) » vide : détection automatique.

Vers une valeur, ou l’infini.

Limites exactes par développement asymptotique (séries de Puiseux à coefficients logarithmiques) et comparaison des croissances. Notation : +inf, -inf, a, a+ (droite), a- (gauche). Le moteur ne prétend pas conclure dans tous les cas.

En l’absence de démonstration reconnue, aucune valeur numérique extrapolée n’est affichée comme limite exacte. Pour les suites complexes, la convergence est évaluée lorsqu’une forme géométrique est reconnue.

Intégrales définies et multiples.

Bornes numériques, infinies ou formelles (a, b, x…). Résultat exact par primitive et limites aux bornes, détection des singularités et des divergences ; doubles et triples avec bornes variables, en coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques ou sphériques. Repli numérique (tanh-sinh) si aucune primitive élémentaire.

Sphériques : x = ρ·sin φ·cos θ, y = ρ·sin φ·sin θ, z = ρ·cos φ (φ ∈ [0, π] angle avec Oz). Bornes formelles : le résultat suppose f continue entre les bornes (condition affichée si une singularité peut s’y trouver) ; les hypothèses ⚙ (a>0…) sont prises en compte.

Des matrices, aussi symboliques.

Édite les coefficients de A et B, même avec des lettres et des fractions. Les résultats sont présentés en vraies grilles, avec simplification des coefficients et hypothèses affichées.

Équations différentielles.

Ordre 1 : linéaires, séparables, Bernoulli. Ordre 2 linéaire à coefficients constants : forçages polynôme·exp·sin/cos (résonance comprise) ou variation des constantes. Équation d’Airy y′′ = (αx+β)·y. Sinon intégration RK4.

Intersections et coordonnées.

Fonctions y = f(x), inéquations (zones coloriées : y > x², x² + y² ≤ 9, systèmes avec « and ») et courbes implicites (x² + y² = 4). Touchez pour lire les coordonnées, glissez pour déplacer, molette ou pincement pour zoomer. Racines et croisements automatiques.

Surfaces 3D, toujours visibles.

Touchez la surface pour placer un point et afficher (x, y, z) ; glissez pour tourner, pincez pour zoomer. Sans WebGL.

Calcul dans ℂ et dans ℍ.

Nombres complexes (avec i) : forme algébrique exacte, module, argument et point du plan. Quaternions (avec i, j, k ou quat(w, x, y, z)) : produit de Hamilton exact, norme, conjugué, inverse, et la rotation 3D qu’ils définissent — animée, à faire tourner du doigt.

Le laboratoire SIGMA.

Un vrai langage pour explorer : variables, listes et matrices, if / for / while, fonctions récursives, tracés, tirages aléatoires — et toute la bibliothèque de calcul formel. Choisis un exemple pour démarrer.

Convertir, combiner, vérifier.

Plus de 300 unités (SI, préfixes, impériales, anciennes, informatiques) et les constantes CODATA. Écris une grandeur, puis en, → ou to et l’unité voulue. Les dimensions sont contrôlées ; sans cible, le résultat est exprimé en unités SI.

Températures : °C et °F sont des échelles affines (conversion directe) ; dans un produit ou un écart, utilise K ou ΔT. Les valeurs exactes par définition du SI (c, h, e, k, Nₐ) restent exactes.

Entiers, divisibilité, congruences.

Un seul bouton : un entier donne sa décomposition, ses diviseurs, φ(n)… ; plusieurs entiers donnent PGCD, PPCM et Bézout ; un système « x ≡ a mod m » est résolu par les restes chinois ; une fraction ou une racine donne son développement décimal périodique et sa fraction continue. Miller–Rabin et Pollard–Brent : grands entiers acceptés.

Fonctions aussi utilisables partout : gcd, lcm, mod, powmod(a, e, n), invmod(a, n), totient, isprime, nextprime, prevprime, numdiv.

L’étude complète, en un geste.

Domaine, parité, périodicité, limites aux bornes, asymptotes (verticales, horizontales, obliques), dérivée, tableau de variations exact, extremums, convexité, points d’inflexion, zéros — avec la courbe annotée.

Les valeurs remarquables sont exactes quand l’équation f′(x) = 0 se résout exactement ; sinon elles sont approchées et signalées par ≈.

Σ, Π et suites récurrentes.

Sommes finies en forme close (polynômes, géométriques, télescopiques), séries infinies reconnues (ζ, exponentielle, logarithme, arctan…) avec critères de convergence, produits (Γ), suites récurrentes linéaires (terme général) ou non linéaires (points fixes, limite).

Suite récurrente : une relation et les conditions initiales séparées par « ; ». Bornes n = a à b entières : termes et somme exacts ; b = n : somme partielle en forme close ; b = inf : limite. Une série est déclarée divergente seulement si un critère le prouve.

Décrire une série, ajuster un modèle.

Une série (valeurs séparées par espaces, « ; » ou retours à la ligne, ou « valeur:effectif ») donne moyenne, médiane, quartiles, variance, écart type — exacts — avec boîte à moustaches et histogramme. Deux colonnes « x y » par ligne donnent la corrélation et les régressions (affine, degré 2, exponentielle, puissance, logarithmique) classées par r².

Quartiles : convention française (Q1 = valeur de rang ⌈n/4⌉, Q3 = rang ⌈3n/4⌉ dans la série triée). σ divise par n ; s (corrigé) par n − 1.

Lois usuelles, résultats exacts.

Binomiale, Poisson, géométrique, hypergéométrique, normale, exponentielle, uniforme. Probabilités exactes quand c’est possible (fractions, e^−λ, erf), espérance, variance, quantiles.

Paramètres exacts acceptés (1/6, sqrt(2)…). Loi normale : P(a ≤ X ≤ b) exprimée avec erf ; le quantile est numérique.

Vos derniers calculs.

Chaque calcul abouti est mémorisé sur cet appareil (80 au maximum). Touchez une entrée pour la rejouer dans son onglet.

Le plan complexe en couleurs.

Coloriage de domaine : chaque point z du plan reçoit la couleur de f(z) — la teinte donne l’argument, les anneaux le module. Zéros et pôles apparaissent d’eux-mêmes ; le relief 3D montre |f(z)|. Zéros, pôles (ordre et résidu exact) et singularités de la fenêtre sont détectés et listés.

Teinte = argument de f(z) : rouge pour un réel positif, cyan pour un réel négatif ; d’un anneau au suivant |f| double. Autour d’un zéro d’ordre n les couleurs font n tours dans le sens direct, autour d’un pôle dans le sens inverse. Glisser pour déplacer, molette ou pincement pour zoomer, toucher pour lire f(z) ; en 3D, glisser pour tourner. Déterminations principales (ln, √, puissances) : leurs coupures sont visibles.

Fonctions d’une variable complexe.

Séries de Taylor et de Laurent avec leur couronne de convergence, singularités et résidus, holomorphie (Cauchy–Riemann), équations dans ℂ et intégrales le long d’un chemin. Chaque résultat est exact quand c’est possible, contrôlé numériquement, et illustré sur le coloriage de domaine de f.

Séries : la couronne par défaut est celle qui touche z₀ (disque de Taylor si f est holomorphe en z₀) ; le menu Couronne propose les autres, délimitées par les singularités. Équations : familles exactes (k ∈ ℤ) puis recherche numérique dans la vue, avec comptage certifié par le principe de l’argument. Intégrales : primitive, résidus ou paramétrage, toujours contrôlés par quadrature. Fonctions non holomorphes admises : conj(z), re(z), im(z), |z|. Toucher le graphique : valeur de f ; molette : zoom ; double-clic : vue initiale.

Fonctions de plusieurs variables.

Gradient, hessienne, différentielle, opérateurs vectoriels en coordonnées cartésiennes, polaires, cylindriques ou sphériques, extremums libres et liés, Taylor et plan tangent, fonctions implicites, formes exactes et circulation. Résultats exacts, vérifiés, illustrés par une carte de niveaux.

Variables : détectées automatiquement (x, y, z…) ou données, ex. « r, θ ». Champ de vecteurs : liste [P, Q, R]. Points critiques : nature par la hessienne (critère de Sylvester) ; si elle est dégénérée, étude locale de f − f(p). Lagrange : nature par la hessienne bordée ; valeurs extrêmes globales si la contrainte définit un compact. Graphique : carte de niveaux de f (ou de |F|) avec le champ ∇f, points remarquables, courbes ; tranche z = point si trois variables. Molette : zoom ; glisser : déplacer ; toucher : valeur.

EDP : exactes, vérifiées, animées.

Classification et forme canonique, 1er ordre par les caractéristiques (problème de Cauchy, chocs), chaleur et ondes sur [0, L] par séries de Fourier exactes, Laplace sur un rectangle ou un disque, d’Alembert et chaleur sur ℝ, ondes progressives non linéaires (KdV, Burgers, Fisher…), résolution numérique par différences finies. Chaque solution est contrôlée (EDP, bords, condition initiale).

Dérivées partielles notées u_x, u_t, u_xx, u_xy, u_xxx… ; une équation peut s’écrire avec « = » ou égale à 0. Chaleur et ondes : bords homogènes (DD, NN, DN, ND, périodique) ; bords non homogènes constants et source f(x) par un état stationnaire, source f(x, t) par Duhamel. Séries : coefficients de Fourier exacts (formule générale en n, modes particuliers à part) ; le graphique utilise une somme partielle. Non linéaire : ondes progressives polynomiales en tanh (degré ≤ 3), Burgers par Cole–Hopf. Numérique : méthode des lignes (différences centrées, Runge–Kutta 4), pas de temps sous la limite de stabilité. 2D : plaque [0, a] × [0, b] par doubles séries de Fourier (exactes si g(x, y) se sépare en produits X(x)·Y(y), numériques sinon), disque à symétrie radiale par séries de Bessel J₀, et différences finies 2D pour toute équation u_t = F(x, y, t, u, u_x, u_y, u_xx, u_yy). Toucher le graphique : valeur au point.

Aide et référence.